Основные разделы


БПФ для произвольного N

эхокомпенсатор преобразование фурье дискретный

Ранее мы рассмотрели случаи, когда число элементов преобразования равно степени двойки. К сожалению, на данный момент не существует столь же эффективного алгоритма вычисления ДПФ для произвольного N. Однако, существует алгоритм, который значительно лучше "лобового" решения задачи. Он требует, чтобы N было четным. Допустим, что N = M 2T = M L. Число L - целая степень двойки, числа M и T - положительные целые.

Сложность этого алгоритма равна N2 / L + Nlog2L. Как видите, этот алгоритм тем эффективнее, чем больше L, то есть, чем больше число элементов N "похоже" на степень двойки. В худшем случае, когда L = 2, он лишь немногим лучше "лобового" решения, которое имеет сложность N2.

Тем не менее, на практике нам часто полезен именно описанный алгоритм. Допустим, у нас имеется оцифрованный звуковой сигнал, длиной в 2001 отсчет, и мы хотим узнать его спектр. Если мы применим обычный алгоритм, то нам придется отрезать "лишний" кусок сигнала, размером почти в его половину, уменьшив число отсчетов до 1024. Но в таком случае мы потеряем гармоники, которые, возможно, возникли только ближе к концу сигнала. Другой вариант: дополнить исходный сигнал до 2048 отсчетов - тоже плох. В самом деле: чем его дополнить? Если нулями, то в результате мы приобретем множество лишних гармоник из-за резкого скачка сигнала вниз на 2001-м отсчете. Совершенно неясно, как интерполировать сигнал на дополнительные 47 отсчетов так, чтобы не появились новые, ненужные гармоники (шумы). И только новый алгоритм решает эту проблему. С помощью него мы можем "отрезать" совсем небольшой кусочек, в 1 отсчет, взяв L = 16 и получив ускорение в 16 раз! Либо мы можем пожертвовать кусочком чуть длиннее, взяв L еще больше. Для реальных сигналов невелика вероятность, что на этом маленьком отрезке спектр резко изменится, так что результат получится вполне удовлетворительный.

Теперь рассмотрим сам алгоритм. Его главной частью является уже знакомый нам алгоритм "fft" для N, равного степени двойки. Этот алгоритм [1] лишь немного модифицирован. Из исходной последовательности длиной N выбирается L элементов, начиная от элемента с номером h (0 ≤ h < M) и с шагом M. В результате получается последовательность из L элементов. Так как L у нас - степень двойки, мы можем применить к полученной последовательности обычный алгоритм БПФ. Результаты преобразования записываются в те же ячейки, откуда были взяты. Изменение алгоритма заключается всего лишь в том, что каждый раз вместо g-го элемента берется элемент с номером h + gM, то есть, выполняется замена индексов по формуле:

→ h + gM (23)

Позднее мы еще дополнительно оптимизируем этот алгоритм, а пока выпишем его результат в виде формулы:

(24)

Где g = 0, 1, . . . , L - 1. Как видите, по сравнению с формулой (1) мы выполнили замену переменных: k → g, n → l, N → L и сделали преобразование индексов по формуле (23) .

На первом этапе модифицированный алгоритм БПФ применяется ко всем элементам исходной последовательности. Для этого вычисление по формуле (20) выполняется для h = 0, 1, . . . , M - 1. Каждое такое вычисление меняет L элементов с индексами h, h + M, h + 2M, . . . , h + (L - 1)M. Таким образом, вызвав M раз этот алгоритм [2], мы изменим все N = ML элементов заданной последовательности:

Шаг 0: элементы с номерами 0, M, 2M, . . . (L-1)M

Шаг 1: элементы с номерами 1, 1 + M, 1 + 2M, . . . 1 + (L-1)M

Шаг 2: элементы с номерами 2, 2 + M, 2 + 2M, . . . 2 + (L-1)M

. . .

Шаг M-1: элементы с номерами M - 1, M - 1 + M, M - 1 + 2M, . . . M - 1 + (L-1)M

На втором этапе заводится новый массив размером в N элементов, и к нему применяется формула:

(25)

В двойном цикле величина s проходит значения 0. . M - 1, а величина r проходит значения 0. . L - 1. Общее число итераций, таким образом, равно ML = N. Каждая итерация требует суммирования M элементов. То есть, общее количество слагаемых равно NM. На предварительном этапе [1] мы M раз применили обычный алгоритм БПФ для L элементов, который, как мы уже знаем, имеет сложность L log2L. Таким образом, общая сложность алгоритма равна:

NM + L log2L = N(N/L) + ML log2L = N2/L + N log2L (26)

Перейти на страницу: 1 2

Прочитайте еще и эти статьи:

Защита каналов связи
Защита (безопасность) информации является неотъемлемой составной частью общей проблемы информационной безопасности, роль и значимость которой во всех сферах жизни и деятельности общества и государства на современном этапе неуклонно возрастают. ...

Асинхронный режим передачи данных - ATM
На согласование разнородных компонентов системные интеграторы и администраторы тратят большую часть своего времени. Поэтому любое средство, сулящее перспективу уменьшения неоднородности сети, привлекает пристальный интерес сетевых специалистов. ...

© Copyright 2020 | www.techattribute.ru