Быстрое преобразование Фурье (БПФ) 1. 2. 1 Физический смысл БПФ

Для чего нужно быстрое преобразование Фурье или вообще дискретное преобразование Фурье (ДПФ)? Давайте попробуем разобраться. Пусть у нас есть функция синуса x = sin(t) на рис. 3.

Рис. 3. функция синуса x = sin(t)

Максимальная амплитуда этого колебания равна 1. Если умножить его на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: x = Asin(t).

Период колебания равен 2π. Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент. Это вызовет растяжение графика по горизонтали: x = A sin(2πt/T).

Частота колебания обратно периоду: ν = 1/T. Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: ω= 2πν = 2πT. Откуда: x = A sin(ωt).

И, наконец, есть фаза, обозначаемая как φ. Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника на рис. 4.

Рис. 4. Гармонические колебания

Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус на рис. 5.

Рис. 5 гармоника через косинус

Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на π/2, чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать под гармоникой функцию косинуса:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ) (1)

В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией чрезвычайно распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и прочее, и прочее.

Преобразуем (1) по формуле косинуса суммы:

x = A cos φ cos(2πt/T) - A sin φ sin(2πt/T) (2)

Выделим в (2) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im (3-4):

x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T) (3) = A cos φ, Im = A sin φ (4)

По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:

и (5)

(6)

Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное Xk на мнимую и действительную составляющие Xk = Rek + j Imk; разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного аргумента; перемножим; внесем 1/N под знак суммы и перегруппируем элементы в две суммы:

Оставим эту формулу пока в стороне и рассмотрим очень распространенную ситуацию. Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить дискретизацию. Отрезок делится на N-1 частей и сохраняются значения функции x0, x1, x2, . . . , xN для N точек на границах отрезков t0 = 0, t1 = T/N, t2 = 2T/N, . . . , tn =nT/N, . . . , tN = T.

В результате прямого дискретного преобразования Фурье [2] были получены N значений для Xk:

(8)

Теперь, если применить обратное дискретное преобразование Фурье, то получится исходная последовательность {x}. Исходная последовательность состояла из действительных чисел, а последовательность {X} в общем случае комплексная. Теперь вернемся к формуле (7). Слева стоит действительное число xn, а справа - две суммы, одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма равна нулю, если исходная последовательность {x} была действительной. Отбросим ее и получим:

(9)

Поскольку при дискретизации мы брали tn = nT/N и xn = f(tn), то можем выполнить замену: n = tnN/T. Следовательно, в синусе и косинусе вместо 2πkn/N можно написать 2πktn/T. В результате получим:

(10)

Сопоставим эту формулу с формулами (11) и (12) для гармоники:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ) (11) = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T) (12)

Мы видим, что сумма (9) представляет собой сумму из N гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды (13):

(13)

Далее будем функцию

Gk(t) = Ak cos(2πtk/T + φk) (14)

называть k-й гармоникой.

Амплитуда, фаза, частота и период каждой из гармоник связаны с коэффициентами Xk формулами:

Итак, физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным.

Прочитайте еще и эти статьи:

Процесс улучшения контроля за температурой теплоносителя в бойлерной
На сегодняшний день в сфере КЖХ наблюдается тотальный износ и старение всех имеющихся технических ресурсов. Все чаще и чаще мы слышим о всякого рода авариях, связанных с работой коммунального хозяйства, будь то: прорывы на теплотрассах или отка ...

Антенны и устройства СВЧ
Линзовой антенной называют совокупность электромагнитной линзы и облучателя. Линза представляет собой радиопрозрачное тело с определенной формой поверхности, имеющее коэффициент преломления, отличный от единицы. Назначение линзы состоит в том, ...