Быстрое преобразование Фурье (БПФ) 1. 2. 1 Физический смысл БПФ

Для чего нужно быстрое преобразование Фурье или вообще дискретное преобразование Фурье (ДПФ)? Давайте попробуем разобраться. Пусть у нас есть функция синуса x = sin(t) на рис. 3.

Рис. 3. функция синуса x = sin(t)

Максимальная амплитуда этого колебания равна 1. Если умножить его на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: x = Asin(t).

Период колебания равен 2π. Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент. Это вызовет растяжение графика по горизонтали: x = A sin(2πt/T).

Частота колебания обратно периоду: ν = 1/T. Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: ω= 2πν = 2πT. Откуда: x = A sin(ωt).

И, наконец, есть фаза, обозначаемая как φ. Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника на рис. 4.

Рис. 4. Гармонические колебания

Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус на рис. 5.

Рис. 5 гармоника через косинус

Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на π/2, чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать под гармоникой функцию косинуса:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ) (1)

В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией чрезвычайно распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и прочее, и прочее.

Преобразуем (1) по формуле косинуса суммы:

x = A cos φ cos(2πt/T) - A sin φ sin(2πt/T) (2)

Выделим в (2) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im (3-4):

x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T) (3) = A cos φ, Im = A sin φ (4)

По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:

и (5)

(6)

Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное Xk на мнимую и действительную составляющие Xk = Rek + j Imk; разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного аргумента; перемножим; внесем 1/N под знак суммы и перегруппируем элементы в две суммы:

Оставим эту формулу пока в стороне и рассмотрим очень распространенную ситуацию. Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить дискретизацию. Отрезок делится на N-1 частей и сохраняются значения функции x0, x1, x2, . . . , xN для N точек на границах отрезков t0 = 0, t1 = T/N, t2 = 2T/N, . . . , tn =nT/N, . . . , tN = T.

В результате прямого дискретного преобразования Фурье [2] были получены N значений для Xk:

(8)

Теперь, если применить обратное дискретное преобразование Фурье, то получится исходная последовательность {x}. Исходная последовательность состояла из действительных чисел, а последовательность {X} в общем случае комплексная. Теперь вернемся к формуле (7). Слева стоит действительное число xn, а справа - две суммы, одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма равна нулю, если исходная последовательность {x} была действительной. Отбросим ее и получим:

(9)

Поскольку при дискретизации мы брали tn = nT/N и xn = f(tn), то можем выполнить замену: n = tnN/T. Следовательно, в синусе и косинусе вместо 2πkn/N можно написать 2πktn/T. В результате получим:

(10)

Сопоставим эту формулу с формулами (11) и (12) для гармоники:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ) (11) = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T) (12)

Мы видим, что сумма (9) представляет собой сумму из N гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды (13):

(13)

Далее будем функцию

Gk(t) = Ak cos(2πtk/T + φk) (14)

называть k-й гармоникой.

Амплитуда, фаза, частота и период каждой из гармоник связаны с коэффициентами Xk формулами:

Итак, физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным.

Прочитайте еще и эти статьи:

Разработка контроллера управления робототехнической системы
Курсовая работа по схемотехнике Тема Разработка контроллера управления робототехнической системы Исходные данные 1. Контроллер управления робототехнической системой (только ...

Теория передачи сигналов
Оба метода могут применяться при любых видах модуляции. Однако из-за большой сложности реализации ,когда методы применяются при ФМ. Частотные демодуляторы : здесь возможны оптимальные и близкие к оптимальным решения. Т.к. 2 сигнала , то обычно ...