Основные разделы


Алгоритмизация задачи

Известно, что интегральные уравнения электродинамики редко имеют аналитическое решение. Большинство же таких задач решаются численными методами. Существует несколько различных методов решения интегральных уравнений. Однако в электродинамике наиболее часто применяется метод моментов, суть которого заключается в следующем:

· для разложения неизвестной функции выбирается система базисных функций;

· берется скалярное произведение каждой пробной функции с левой и правой частями интегрального уравнения, в результате получается система линейных алгебраических уравнений;

· в результате решения полученной системы уравнений определяются коэффициенты разложения неизвестной функции.

Следует отметить, что наиболее распространены два частных случая метода моментов:

1. Метод Крылова-Боголюбова. Базисные функции при этом выбираются кусочно-постоянными, а пробные - дельта-функции;

2. Метод Галеркина. Базисные функции и пробные функции выбираются одинаковыми [4].

Для численного решения интегрального уравнения (3.12) применялся метод Крылова-Боголюбова. Рассмотрим его подробнее.

Метод Крылова-Боголюбова

Имеем исходное интегральное уравнение 1-го рода

, (4.1)

где - неизвестная функция, - ядро интегрального уравнения, - известная правая часть.

Разобьем интервал на равных участков, в центре каждого участка выделим точку , где . Будем считать значение функции , внутри каждого участка, неизменным. То есть фактически заменим непрерывную функцию - кусочно-линейной

, (4.2)

где ,

Теперь интегральное уравнение принимает вид

. (4.3)

Вводим систему пробных функций и образуем скалярное произведение каждой функции с левой и правой частями интегрального уравнения.

(4.4)

для .

Пользуясь основным свойством -функции преобразуем полученное выражение.

, (4.5)

для .

Далее вынесем сумму за знак интеграла.

, (4.6)

для .

Функция на интервале не равна нулю лишь на участке , а внутри этого участка она равна единице, поэтому получим окончательное выражение

, (4.7)

для .

Таким образом исходное интегральное уравнение сведено к системе линейных алгебраических уравнений вида

, (4.8)

решение которой при помощи среды программирования MathCad 7.0 не представляет труда.

4.1 Выражения для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений

Запишем выражения для коэффициентов системы (4.8):

, (4.9)

. (4.10)

С точки зрения програмной реализации в среде MathCad 7.0 первый интеграл выражения (4.9) не представляется сложным, так как пакет MathCad 7.0 имеет встроенную процедуру численного интегрирования, а функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, входящая в выражение для выражается через функции Бесселя, также имеющиеся в пакете MathCad 7.0, следующим образом:

. (4.11)

Второй же интеграл выражения (4.9) наиболее трудоемок в процессе вычисления коэффициентов, так как он берется от функции , которая сама по себе представляет собой двойную сумму. С целью сокращения машинного времени, требующегося для просчета коэффициентов (4.11), упростим выражение для .

Перейти на страницу: 1 2

Прочитайте еще и эти статьи:

Разработка цифрового комбинационного устройства - демультиплексора
Необходимо разработать цифровое комбинационное устройство демультиплексор из 1 в 4 в базисе ИЛИ-НЕ, НЕ, логическая функция которого указана ниже. Требуемые параметры устройства и базисных элементов представлены в таблице 1.1. Параметры, необ ...

Моделирование работы МДП-транзистора в системе MathCad
В современной цифровой электронике наиболее распространены полевые транзисторы. Это связано с тем, что на полевых транзисторах возможна реализация комплиментарных МОП-структур. Преимущество таких структур в их быстродействии и малой потребляемо ...

© Copyright 2019 | www.techattribute.ru